応用数学勉強会2019 ＠芝浦工大
期間 2019年10月28日(月）〜10月30日（水）
会場 芝浦工業大学大宮キャンパス ５号館数理棟２Ｆ ゼミ室２
（住所： 埼玉県さいたま市見沼区深作307）
会場へのアクセス：
http://www.shibaura-it.ac.jp/access/index.html
キャンパス案内： http://www.shibaura-it.ac.jp/educational_foundation/facility/omiya_campus.html
※駅は宇都宮線「東大宮」になります。大宮から高崎線や宇都宮線快速に乗らないようご注意ください。
講師
講義Ａ： 村川 秀樹 氏（龍谷大学）
講義Ｂ： 森田 善久 氏（龍谷大学）
レクチャーノート公開
村川 秀樹 著：「
反応拡散系の急速反応極限と非線形拡散問題の反応拡散系近似・線形近似」
(2020年6月version)
森田 善久 著：「
反応拡散方程式におけるフロント全域解」
(2020年8月version)
講師から加筆・修正があった場合，随時アップデートします．
スケジュール
２８日午後 講義Ａ ２コマ（１４：００−１５：３０、１５：５０−１７：２０）
２９日午前 講義Ｂ ２コマ（９：００−１０：３０、１０：５０−１２：２０）
午後 講義Ａ ２コマ（１４：００−１５：３０、１５：５０−１７：２０）
３０日午前 講義Ｂ ２コマ（９：３０−１１：００、１１：２０−１２：５０）
各講義の内容
講義Ａ： 村川 秀樹 氏（龍谷大学） 講義内容
タイトル： 反応拡散系の急速反応極限と非線形拡散問題の反応拡散系近似・線形近似
概要
反応拡散系の急速反応極限と呼ばれる特異極限問題を考える。
この種の問題は、反応率がその他のダイナミクスに比べて非常に大きい場合の反応拡散系の解の振る舞いを調べる問題であり、核廃棄物の深度埋設処理に関する問題、生態学における多種生物種の棲み分け問題、熱傷創感染問題等の解析において現れる。
そして、これらの問題における急速反応極限は、非線形拡散を含む問題により表現されることが分かっている。急速反応極限の解析のための一般的な枠組みを提示し、その解析結果について述べる。
急速反応極限問題の解析で、ある反応拡散系の解がある非線形拡散問題の解に収束することが分かった。
裏を返せば、非線形拡散が反応と拡散の相互作用によって表現できるということである。
非線形拡散問題の解析に半線形反応拡散系を利用しようという立場に立った研究が、反応拡散系近似である。こうした立場からの研究について紹介する。
反応拡散系を時間離散化することにより、非線形拡散問題に対する線形近似を得ることができる。
更にそれを空間離散化することによって、非線形拡散問題に対する線形数値解法を得ることができる。
この解法は、実装が容易であるにもかかわらず、無条件安定であり、対称であり、既存の数値解法に比べて少ないメモリーで高速に計算できる解法である。
更に、数値実験による誤差は既存の非線形解法と同程度である。
計算効率(計算精度と計算時間の比) は既存の解法に比べて50〜100倍程度も良い結果が得られた。
本講演では、上記の一連の研究を概観し、非線形拡散問題の線形近似について詳しく説明する。
講義Ｂ： 森田 善久 氏（龍谷大学） 講義内容
タイトル： 反応拡散方程式におけるフロント全域解
概要
1937年のFisherとKolmogorov-Petrovskii-Piscounov
([7])の反応拡散方程式における進行波解のパイオニア的な研究以降，生物個体数，変異遺伝子，反応物質，神経興奮などが空間を一定速度で伝播する現象
を表現する反応拡散方程式の進行波解の研究が発展した．
特にFisher-KPP方程式のような単安定な方程式とAllen-Cahn方程式のような双安定な方程式において，２つの定常状態を結ぶ遷移状態の伝
播を表現するフロント進行波解の研究が進み ([1], [2])，方程式系への拡張など研究が発展している．
方程式が自律系の場合には，一定速度で伝播する解は進行速度と同じ速度の動座標系で見ると定在波となるので，そのような動座標系では進行波解を求める問題
は無限端で適当な境界条件を満たす定常問題として特徴付けることができる．
しかし，空間変数や時間変数が系に含まれるとこのような特徴づけが機能しないので別な方法が必要となる．
一方，フロント波を複数組み合わせた形状の解が伝播する現象も容易に観察することができ，時間的な遷移過程で空間形状が大きく変形することも知られてい
る．
このような場合のフロントの伝播を特徴付ける解として，時間が負の無限大での挙動に着目し，空間および時間に関して大域的に定義される解（全域解と呼ぶ）
を考える発想に至るが ([5], [9])，
一般に放物型方程式が時間負の方向に解けないためそのような解の存在を証明するのに工夫を要する．この講義では，自律系の場合に焦点を絞ってフロント波の
形状を持つ全域解の構成方法と ([3], [4],
[8])，複数の半直線が一点で結ばれた構造を持つ領域（星状グラフ形状の領域）でのフロントの伝播の性質が全域解の存在によって理解できることを解説す
る([6])．
[1] D. G. Aronson and H. F. Weinberger, Nonlinear diffusion in
population genetics, com bustion, and nerve pulse propagation, Partial
Differential Equations and Related Topics, ed. J. A. Goldstein, Lecture
Notes in Math. 446, 5-49, Springer, 1975.
[2] P. C. Fife and J. B. McLeod, The approach of solutions of nonlinear
diffusion equations to travelling front solutions, Arch. Ration. Mech.
Anal. 65 (1977), no. 4, 335-361.
[3] Y. Fukao, Y. Morita and H. Ninomiya, Some entire solutions of the
Allen-Cahn equation, Taiwanese J. Math. 8 (2004), 15-32.
[4] J.-S. Guo and Y. Morita, Entire solutions of reaction-diffusion
equations and an application to discrete diffusive equations, Discrete
Contin. Dynam. Systems, 12 (2005), 193-212.
[5] F. Hamel and N. Nadirashvili, Entire solutions of the KPP equation,
Comm. Pure Appl. Math. 52 (1999), 1255-1276.
[6] S. Jimbo and Y. Morita, Entire solutions to reaction-diffusion
equations in multiple half-lines with a junction, J. Differential
Equations, 2019.
[7] A. Kolmogorov, I. Petrovsky, and N. Piskunov, Etude
de l'équation de la diffusion avec croissance de la
quantité de matière et son application à
un problème biologique,
Bjul. Moskowskogo Gos. Univ. Ser. Internat. Sec. A 1 (1937), 1-26.
[8] Y. Morita and H. Ninomiya, Entire solutions with merging fronts to
reaction-diffusion equations, J. Dynam. Differential Equations 18
(2006), 841-861.
[9] H. Yagisita, Backward global solutions characterizing annihilation
dynamics of travelling fronts, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 39 (2003),
117-164.
本勉強会は
日本学術振興会科学研究費補助金 基盤研究（S）課題番号：19H05599（代表：石毛和弘）
日本学術振興会科学研究費補助金 基盤(C) 課題番号：19K03562 (代表:高坂良史)
日本学術振興会科学研究費補助金 挑戦的研究(萌芽) 課題番号：19K21836 (代表:石渡哲哉)
芝浦工業大学プロジェクト研究助成 (代表:石渡哲哉)
の援助を受けて開催されます．
懇親会について
勉強会の２日目（１０月２９日）の晩に懇親会（東大宮あるいは大宮あたり）を予定しています。
懇親会に参加される方は、１０月２３日（水）までに石渡までご連絡ください。
世話人
石渡 哲哉（芝浦工業大学）tisiwata(at)shibaura-it.ac.jp
高坂 良史（神戸大学）kohsaka(at)maritime.kobe-u.ac.jp
勉強会シリーズ
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応用数学勉強会2015 : 2015年10月29日〜10月31日, ＠芝浦工大
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研究集会「界面の数理と幾何解析」 :2012年11月29日〜12月1日,
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更新日 2020年6月29日